Ecole Polytechnique , promotion X 2012

∂ 2 u ∂t 2 (x, t) − ∂ 2 u ∂x 2 (x, t) = 0, x ∈ IR, t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), x ∈ IR, ∂u ∂t (x, 0) = u 1 (x), x ∈ IR. On suppose que les données initiales sont suffisamment régulières pour que le problème de Cauchy (1) admette une solution unique u(x, t) d'énergie finie et au moins de classe C 2 en temps. On note A l'opérateur −∆. 1 Etude du problème continu 1.1 Notion d'onde plane harmonique Une onde plane harmonique est une fonction de la forme : u(x, t) = exp i(ωt − kx), (k, ω) ∈ IR 2. (2) La fonction définie par (2) est oscillante en temps et en espace et on définit : • k est le nombre d'onde. La solution est périodique en espace de période λ = 2π/|k| : la longueur d'onde. • ω est la pulsation (souvent abusivement appelée fréquence, la fréquence étant f = ω/2π). La solution est périodique en temps de période T = 2π/|ω| = 1/|f | En écrivant que : u(x, t) = exp iω (t − x V), V = ω k on voit qu'il s'agit d'une " onde " (on enlève le cas trivial k = 0) se propageant à la vitesse (dite vitesse de phase) : V = ω k. On considère k comme un paramètre, établir la relation de dispersion reliant ω(k) 2 à k 2 vérifiée par toute solution harmonique de l'équation des ondes (1). En déduire la relation entre λ et T. Qu'en déduit-on pour la vitesse de phase ? Expliquer pourquoi tout signal de forme quelconque se propage sans déformation dans un milieu homogène (c'est à dire tel que c est constant).